1 . 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有.

2 . 有限集合S中元素个数记作 ，设 都为有限集合，给出下列命题∶
①;
②;
③;
④;
其中真命题的个数是（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4 . 若集合具有以下性质：（i）且；（ⅱ）若，则，且当时，，则称集合为“闭集”.
(1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由；
(2)设集合是“闭集”，求证：若，则；
(3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由.

5 . 已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则______.

6 . 给定集合和，定义运算“”：，若，，则集合的所有子集的元素之和为_________.

7 . 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（       ）

A．②③

B．①④

C．①③

D．①②④

8 . 对正整数，记，．
(1)用列举法表示集合；
(2)求集合中元素的个数；
(3)若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14．

9 . 数学中经常把集合称为集合对的差集，记作，，是自然数集，则_________．

10 . 设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为.
(1)若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由）
(2)若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系.
(3)若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由.