1 . 已知正项数列的前项和为，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；
（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．

2 . 如图，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，设的眼睛距地面的距离米．

   

（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆绕其中点在与立柱所在的平面内旋转，摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

3 . 某玩具生产公司计划每天生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.
（1）试用每天生产的卫兵个数与骑兵个数，表示每天的利润（元）；
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少.

4 . 等差数列中，已知，
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值.

5 . 已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且恰为等比数列的前三项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设是数列的前项和，是否存在，使得等式成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

6 . 已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*，求数列{a_n×b_n}的前n项和T_n．

7 . 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n，
（2）若数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ﹣1）a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（﹣1）ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

8 . 已知下列命题
①，则成等比数列；
②若为等差数列，且常数，则数列为等比数列；
③若为等比数列，且常数，则数列为等比数列；
④常数列既为等差数列，又是等比数列．
其中，真命题的个数为

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 在中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，，成等差数列，且，求的面积．

10 . 数列满足：
（Ⅰ）写出，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：．