1 . 正项数列
满足：对于
，其中
为非零常数，则称数列为平方等差数列.记
.
(1)判断无穷数列
和
是否是平方等差数列，若是求出，若不是，说明理由；
(2)若是平方等差数列且
，证明：任意的正常数
，存在正整数
，使得
；
(3)若是平方等差数列，
，令
是不大于
的最大整数，求
.
满足：对于，其中为非零常数，则称数列为平方等差数列.记.(1)判断无穷数列
和是否是平方等差数列，若是求出，若不是，说明理由；(2)若
是平方等差数列且，证明：任意的正常数，存在正整数，使得；(3)若
是平方等差数列，，令是不大于的最大整数，求.
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2 . 将n²个实数排成n行n列的数阵形式
……
(1)当
时，若每一行每一列都构成等差数列，且 
，求该数阵中所有数的和.
(2)已知
，且每一行构成以1为公差的等差数列，每一列构成2为公差的等差数列，求这
个数的和
；
(3)若
且每一列均为公差为d 的等差数列，第二行为等比数列.已知 
，设 
求
的值.
……
(1)当
时，若每一行每一列都构成等差数列，且 ，求该数阵中所有数的和.(2)已知
，且每一行构成以1为公差的等差数列，每一列构成2为公差的等差数列，求这个数的和；(3)若
且每一列均为公差为d 的等差数列，第二行为等比数列.已知 ，设 求的值.
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3 . 意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为
，则
，观察数列
的规律，不难发现，
，我们称该数列为斐波那契数列.
(1)若数列是斐波那契数列，求出
和
的值，并证明
.
(2)若数列是斐波那契数列，且
，求证：数列
是等比数列；
(3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和
.
个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列.(1)若数列
是斐波那契数列，求出和的值，并证明.(2)若数列
是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；(3)若数列
是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和.
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2024-07-20更新
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234次组卷
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4卷引用：河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期终质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期终质量评估数学试题河南省许昌市魏都区许昌高级中学2025届高三上学期8月月考数学试题浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期数学暑期测试卷2（已下线）专题3 数列中的新定义压轴大题（二）【讲】
名校
解题方法
4 . 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，
三点在同一水平面上的投影
，满足
，
．由
点测得
点的仰角为
，由点测得A点的仰角为
，则
的高度为_______ ．
三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为
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2024-07-07更新
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241次组卷
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2卷引用：河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试题
5 . 若数列满足
，且存在正整数
，
，使得
，
，则称数列是
数列，若，都是数列，记
.
(1)各写出等比数列，的一个通项公式，使得数列
是数列；（不要求写出过程）
(2)已知数列满足
，
，
，若数列是数列，且前
项的和为100，求
，
及相应的的值；
(3)若，，
都是数列，求证：
，
，
中至少有1个是偶数.
满足，且存在正整数，，使得，，则称数列是数列，若，都是数列，记.(1)各写出等比数列
，的一个通项公式，使得数列是数列；（不要求写出过程）(2)已知数列
满足，，，若数列是数列，且前项的和为100，求，及相应的的值；(3)若
，，都是数列，求证：，，中至少有1个是偶数.
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解题方法
6 . 已知数列的前项和为
，且
，则（ ）
的前项和为，且，则（ ）| A．是递增数列 |
B．使 成立的最大正整数的值为5 |
C． |
D．若数列 的前项和为 ，则 |
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2024-06-22更新
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297次组卷
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5卷引用：河南省驻马店市上蔡中学等校2023-2024学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题
7 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为
，所有项的和记为．
(1)求
；
(2)若
，求n的最小值；
(3)是否存在实数
，使得数列
为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由．
，所有项的和记为．(1)求
；(2)若
，求n的最小值；(3)是否存在实数
，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由．
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8 . 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列
经过第一次“和扩充”后得到数列
；第二次“和扩充”后得到数列
．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
(1)若
，求
；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在数列
，使得数列
为等比数列？请说明理由．
经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．(1)若
，求；(2)求不等式
的解集；(3)是否存在数列
，使得数列为等比数列？请说明理由．
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2024-06-14更新
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656次组卷
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5卷引用：河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考前热身联考数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考前热身联考数学试题2025届甘肃省张掖市某校高三下学期6月模拟考试数学试题（已下线）第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）-2（已下线）拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题（七大题型）山东省菏泽市2024届高三下学期模拟预测信息押题卷（一）数学试题
解题方法
9 . 设Sn是数列的前n项和，定义等斜率数列
且
等式
恒成立．
(1)若是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；
(2)已知是等斜率数列，证明：是等差数列．
的前n项和，定义等斜率数列且等式恒成立．(1)若
是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；(2)已知
是等斜率数列，证明：是等差数列．
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名校
10 . 若实数集
对于
，均有
，则称
具有“伯努利型关系”.
(1)若集合
，试判断是否具有“伯努利型关系”;
(2)设集合
，若
具有“伯努利型关系”，求非负实数
的取值范围；
(3)当
时，证明:
.
对于，均有，则称具有“伯努利型关系”.(1)若集合
，试判断是否具有“伯努利型关系”;(2)设集合
，若具有“伯努利型关系”，求非负实数的取值范围；(3)当
时，证明:.
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