1 . 已知函数（e为自然对数的底数，a是实数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意的恒成立，求实数a的值；
（3）求证：

2 . 已知函数．
（1）当时，比较与的大小；
（2）若有两个不同的极值点，证明：．

3 . 已知点的坐标为，点的坐标为，点满足，记点的轨迹为．
（1）证明为定值，并写曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 在平面直角坐标系中，已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到直线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设过的直线与交于两点，直线与的准线分别交于点，求证:直线与以为直径的圆相切于点.

5 . 已知函数
（1）当，求的最大值与最小值；
（2）对于，若，证明：.

6 . 已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)．证明:直线与直线的交点的横坐标是定值．

7 . 已知椭圆M：，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.
（1）求圆N的方程；
（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证为定值.

8 . 给定抛物线上点.
（1）求过点且与该抛物线相切的直线的方程；
（2）过点作动直线与该抛物线交于两点（都与不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

9 . 已知的两个顶点坐标为，，且与所在直线的斜率之积为.
（1）求顶点的轨迹的方程.
（2）若点为直线上的动点，直线与曲线的另一交点为，直线与曲线的另一交点为，过坐标原点作的垂线，垂足为，证明：存在定点，使得为定值.

10 . 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，求证：直线过定点.