1 . 如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.

(1)设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、；
(2)试分别求、的最大值、，并比较、的大小.

2 . 设、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求的离心率；
(2)过的直线与相交于，两点.
①当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程；
②当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.

3 . 已知线段在坐标轴上滑动，点A在y轴上滑动（包括原点），点B在x轴上滑动（包括原点）.若，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)点P在曲线C上，且在第一象限，过P作椭圆的切线，切点分别为A，B.求面积的取值范围.
注；过椭圆外一点作椭圆的切线，切点为A，B.则AB的直线方程为：.

4 . 已知是平面上的动点， 且点与的距离之和为．点的轨迹为曲线．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围．

5 . 1.如果函数满足：存在非零常数，对于，都有成立，则称函数为函数．
(1)判断是否是函数，并说明理由；
(2)已知（其中）的图象过点，证明：是函数；
(3)若，写出是函数的充要条件，并证明．

6 . 1.福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅68海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示，为地面，､为路灯灯杆，，，在处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角，已知，，

(1)若，求此路灯在路面OM上的照明宽度；
(2)为了控制的路灯照明效果，令，求此路灯在路面OM上的照明宽度的取值范围.

7 . 已知点A(－1,0)，点P是⊙B：(x－1)²＋y²＝16上的动点．线段AP的垂直平分线与BP交于点Q．
(1)设点Q的轨迹为曲线C，求C的方程．
(2)过x轴上一动点R作两条关于x轴对称的直线与，设M，N分别是，与曲线C的交点且M，N不关于x轴对称，MN与x轴交于点S，是否为定值？若是定值，请求出定值，若不是定值，请说明理由．

8 . 已知椭圆的焦距为2，O为坐标原点，F为右焦点，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l的方程为，AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交l于点P，过点O与AB平行的直线交/于点Q，直线PF交直线OQ于点R，直线QF交直线MO于点S．
①证明：O，S，F，R四点共圆；
②记△QRF的面积为，△QSO的面积为，求的取值范围．

9 . （1）已知命题：“矩形的对角线相等”，请把该命题改写成“若，则”的形式，并写出该命题的逆否命题，并判断逆否命题的真假；
（2）已知命题：，，请写出该命题的否定，并判断其真假．

10 . 椭圆E：，长轴长为4c（c为半焦距），左顶点为A，过点A作直线与椭圆E交于另一个点P（点P在第一象限），P、Q两点均在椭圆上且关于x轴对称，点O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线与△APQ的外接圆C（C为圆心）相切于P点，与椭圆交于另一个点T，且；

(1)求椭圆E的离心率；
(2)求直线与直线的斜率；
(3)求椭圆E的标准方程.