1 . 已知.
（1）已知是导函数，求的极值；
（2）设，若有两个零点，求a的取值范围.

2 . 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）设函数，若斜率为的直线与函数的图象交于，两点，证明：．

3 . 已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.

4 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.

5 . 已知函数的最大值为（其中为自然对数的底数），是的导函数．
（1）求的值；
（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立．求证：．

6 . 已知函数（其中为自然对数的底数）存在唯一的极值点，则实数的取值范围是____________________________．

7 . 已知函数的导函数为，其中为自然对数的底数，，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在正数，使得，求实数的取值范围．

8 . 已知椭圆的下焦点为，与短轴的两个端点构成正三角形，以（坐标原点）为圆心，长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为直线上任意一点，过点作与直线垂直的直线，交椭圆于两点，的中点为，求证：三点共线．

9 . 设函数.
（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；
（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

10 . 如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.
（i）求证：；
（ii）试探究是否为定值.