1 . 如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.

   

(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.

2 . 如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.

(1)求曲线的方程；
(2)若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；
(3)若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.
(1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程.
(2)证明：线段的垂直平分线过定点.

4 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

5 . 如图所示，在三棱锥中，，，．

   

(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

6 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，为的中点，且.

(1)证明：；
(2)若，求二面角的正弦值.

7 . 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．

8 . 如图，四棱锥的底面为菱形，，，，.
   
(1)证明：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

9 . 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线在曲面上；
(3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.

10 . 如图，在三棱台中，平面，，.
   
(1)证明：；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长.