1 . 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆的上顶点，过点作两条相互垂直的直线，分别与椭圆相交于、两点，若，求直线的方程．
附：多项式因式分解公式．

2 . 已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过原点的直线（不与坐标轴重合）与交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作轴于点，连接，并延长交椭圆于，证明以线段为直径的圆经过点.

3 . 椭圆与直线相交于P、Q两点，且，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足，求椭圆长轴长的取值范围．

4 . 已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为__________．

5 . 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的中心O关于直线 的对称点落在直线上；
（1）求椭圆C：的方程；
（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线斜率的取值范围；
（3）证明直线与轴相交于定点．

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于两点，使得（为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

7 . 在平面直角坐标系中，动点到点和的距离分别为和，，且.

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）是否存在直线过点与轨迹交于，两点，且以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

8 . 如图，已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，过线段的中点作的垂线交轴于点.

（1）设直线的斜率分别为，若，直线经过椭圆的左焦点，求的值；
（2）若，且，求面积的取值范围.

9 . 已知椭圆的的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为0，求的值.

10 . 已知椭圆及直线，.
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点；
（2）若直线与椭圆交于、两点，且，为坐标原点，求直线的方程.