1 . 已知椭圆的离心率为，其中左焦点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．

2 . 已知椭圆的方程为，左､右焦点分别是，，若椭圆上的点到，的距离和等于4.
（1）写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，，若原点在以线段为直径的圆外，求直线的斜率的取值范围.

3 . 椭圆与直线相交于P、Q两点，且，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足，求椭圆长轴长的取值范围．

4 . 已知椭圆：()的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.过椭圆右焦点作直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.

5 . 已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为__________．

6 . 已知椭圆的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆M，N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

7 . 已知椭圆的左､右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方．若，求直线的方程．

8 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，若点E满足，且点E在椭圆C上，求实数t的值．

9 . 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的中心O关于直线 的对称点落在直线上；
（1）求椭圆C：的方程；
（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线斜率的取值范围；
（3）证明直线与轴相交于定点．

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于两点，使得（为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.