1 . 设分别是椭圆的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；
(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

2 . 已知椭圆的上顶点为，圆与轴的正半轴交于点，与有且仅有两个交点且都在轴上，（为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与直线的斜率互为相反数.

3 . 已知椭圆C的两个焦点为F₁(－1,0)，F₂(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．

4 . 已知椭圆的离心率为分别为其左、右焦点，为椭圆上一点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作关于轴对称的两条不同的直线，若直线交椭圆于一点，直线交椭圆于一点，证明：直线过定点.

5 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为A.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆上，求实数的值.

6 . 设椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆外一点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若椭圆的右焦点在以弦为直径的圆的内部，求实数的取值范围．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知菱形的顶点在椭圆上，顶点在直线上，求直线的方程．