1 . 已知椭圆的短轴长与焦距均为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．

2 . 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，，分别是椭圆的上、下顶点，若四边形的面积为，的面积为1．
（1）求椭圆的方程：
（2）设平行于的动直线与四边形的对边，分别交于点，，与椭圆交于点，（在直线上从上到下顺次分别为，，，），求证：．

3 . 已知椭圆的离心率为，左焦点，斜率为的直线经过点且与椭圆交于、两点，点为的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，直线与直线交于点，且满足，求的值．

4 . 已知圆，若椭圆右顶点为圆M圆心，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段上），且，求k的值．

5 . 已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，点是椭圆.上异于左右顶点的动点，直线，的斜率分别为和，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于，两点、点，若轴是的角平分线，求点坐标.

6 . 椭圆：的长轴长为4，左、右焦点分别为、，过右顶点且斜率为的直线与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，直线：与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为和，若，，成等差数列，求的值.

7 . 已知，分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆C上，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的左顶点，过点的直线l椭圆C于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为，，若，求直线方程.

8 . 已知椭圆的离心率为，，分别为左右焦点，直线与椭圆交于､两点，的重心分别为､，当时，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，证明：原点在以为直径的圆的外部．

9 . 已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：

10 . 已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.