【推荐1】已知过点的直线交抛物线()于，两点，以为直径的圆过坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点，，，，直线的倾斜角，直线交直线于点，在，两点之间，求四边形面积的取值范围.

【推荐2】若函数，则称向量为函数的特征向量，函数为向量的特征函数．
(1)若函数，求的特征向量；
(2)若向量的特征函数为，求当，且时的值；
(3)已知点，设向量的特征函数为，函数．在函数的图象上是否存在点Q，使得？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐3】已知，，对任意，有成立.
（1）求的通项公式；
（2）设，，是数列的前项和，求正整数，使得对任意，恒成立；
（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值.

【推荐1】已知中心在原点O，左焦点为F₁(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，若椭圆，椭圆，则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C₂于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

【推荐2】椭圆的左右顶点分别为是栯圆上一点，．
(1)求椭圆方程；
(2)动直线交椭圆于两点，求面积取最大时的的值．

【推荐3】如图，椭圆的顶点为，焦点为，.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设n 为过原点的直线，是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，.是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

【推荐1】在平面直角坐标系中，①已知点，直线，动点满足到点的距离与到直线l的距离之比为；②已知圆的方程为，直线为圆的切线，记点，到直线的距离分别为，，动点满足，；③点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足；
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点的轨迹的方程；
（2）设为直线上任一点，轨迹与轴的两个交点分别为，，且，，三点的连线可以构成三角形.直线，与轨迹的另一交点分别为点，，求证：直线过定点.

【推荐2】已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和上顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线上是否存在一点，过点作椭圆的两条切线分别切于点与点，点在以为直径的圆上，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标.

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为点，左、右顶点分别为，长轴长为，椭圆上任意一点（不与重合）与连线的斜率乘积均为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，试问：四边形可否为菱形？并请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．

【推荐3】如图所示，已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P，Q是该椭圆上不同于顶点的两点，直线AP与直线QB交于点M，直线AQ与直线PB交于点N．

(1)证明：；
(2)若弦PQ过椭圆的右焦点，求直线MN的方程．