1 . 给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为_______.

2 . 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（       ）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（3）

D．（3）（4）

3 . 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．
(1)若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”；
(2)在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．

4 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

5 . 如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．
(1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且；
(3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．

6 . 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．

7 . 对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（     ）

A．若为“s数列”，则为“t数列”

B．若，则为“t数列”

C．若，则为“s数列”

D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”

8 . 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

9 . 已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（       ）

A．①是真命题，②是假命题	B．①是假命题，②是真命题
C．①､②都是真命题	D．①､②都是假命题

10 . 设满足以下两个条件的有穷数列为n（）阶“期待数列”：
①；
②．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
(2)若某（）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“期待数列”的前k项和为（），试证：
（i）；
（ii）．