1 . 设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；
（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

2 . 设,为正整数,数列的通项公式,其前项和为
（1）求证:当n为偶数时,;当为奇数时,;
（2）求证:对任何正整数,.

3 . 已知非空集合满足.若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质.记具有性质的集合的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.

4 . 定义：若有穷数列同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．
①首项；②；
③对于该数列中的任意两项和其积或商仍是该数列中的项．
(1) 问等差数列1，3，5是否为P数列？
(2) 若数列是P数列，求b的取值范围；
(3) 若，且数列是P数列，求证：数列是等比数列．

5 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．

6 . 斐波那契数列（ Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契（ Leonardodalibonace）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．记斐波那契数列为{a_n}，数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝1，a_n+1＝a_n+a_n﹣1（n≥2，n∈N*）．
（1）若{a_n+1﹣pa_n）（p＜0）是等比数列，求实数p的值；
（2）求斐波那契数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：从第二项起，每个偶数项的平方都比其前后两项之积少1．

7 . 已知为整数,且,为正整数,,记.
（1）试用分别表示;
（2）用数学归纳法证明:对一切正整数均为整数.

8 . 设S_n为数列{a_n}的前n项和，若 (n∈N^*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c_n}是首项为2、公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{c_n}是“和等比数列”，则d=________.