1 . 若有穷数列满足且对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质
（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为的数列具有性质，求证：；
（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列

2 . 已知为数列的前项和，且满足，．
(1)求证：数列是递增数列；
(2)如果存在一个正数，使得恒成立，则称数列是有界的．判断数列是否有界，并说明理由．

4 . 若对于数列中的任意两项､，在中都存在一项，使得，则称数列为“X数列”；若对于数列中的任意一项，在中都存在两项､，使得，则称数列为“Y数列”.
（1）若数列为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若数列的前项和，求证：数列为“Y数列”；
（3）若数列为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：成等比数列.

5 . 已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如：数列满足，则其“序数列”为1，3，2.
（1）若数列的通项公式为，写出的“序数列”；
（2）若项数不少于5项的有穷数列，的通项公式分别为，，且的“序数列”与的“序数列”相同，求实数t的取值范围；
（3）若有穷数列满足，，且的“序数列”单调递减，的“序数列”单调递增，求数列的通项公式.

6 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列.
（Ⅰ）数列为，数列为.判断数列，是否为数列， 并说明理由；
（Ⅱ）设数列是首项为的P数列，其前项和为（）.求证：当时，；
（Ⅲ）设无穷数列是首项为a（a>0），公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，.若.判断是否为数列，并说明理由.

8 . 若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②若对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．

(1)已知，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．

9 . 若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”.
（1）判断数列和是否为“凸数列”?
（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有；
（3）若是一个“凸数列”，证明：对，有.

10 . 若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称具有“性质”．
（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为2的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；
（3）证明首项为2的无穷等差数列具有“性质”的充要条件是公差或．