1 . 对于无穷数列、，，若，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．
(1)写出数列的“收缩数列”；
(2)证明：数列的“收缩数列”仍是．

2 . 对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
(1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；
(2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；
(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.

3 . 已知为数列的前项和，且满足，．
(1)求证：数列是递增数列；
(2)如果存在一个正数，使得恒成立，则称数列是有界的．判断数列是否有界，并说明理由．

4 . 若有限项数列满足，则称数列为数列．记．
(1)写出两个满足，的数列；
(2)若，，求证：数列是递增数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在的数列，满足？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，请说明理由．

5 . 设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
(1)若数列中，，，求证：数列是“封闭数列”；
(2)若，试判断数列是否为“封闭数列”，并说明理由．

6 . 已知数列，如果数列满足，，则称数列是数列的“生成数列”．
（1）若数列的通项公式为，写出数列的生成数列”的通项公式．
（2）若数列的通项公式为（是常数），则数列的“生成数列”是否是等差数列？说明理由．
（3）已知数列的通项公式为，求数列的“生成数列”的前项和．

7 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．

8 . 已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．
（1）若数列的通项为，则是否属于？
（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{a_n}的通项：若不存在，说明理由．

9 . 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．
（1）当时，试确定使得需要多少步雹程；
（2）若，求m所有可能的取值集合M．

10 . 记无穷数列{a_n}的前n项a₁，a₂，…，a_n的最大项为A_n，第n项之后的各项a_n+1，a_n+2…的最小项为B_n，b_n＝A_n﹣B_n．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n²﹣7n+6，写出b₁，b₂，b₃；
（2）若数列{b_n}的通项公式为b_n＝﹣2n，判断{a_n+1﹣a_n}是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；
（3）若数列{b_n}为公差大于零的等差数列，求证：{a_n+1﹣a_n}是等差数列．