1 . 如图，在等腰直角三角形中，分别为的中点，，将沿折起，使得点至点的位置，得到四棱锥.

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若平面平面，点在线段上，平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.

2 . 如图①所示，长方形中，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，得到图②的四棱锥．
   
(1)若棱PB的中点为N，求CN的长；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．

3 . 如图，在长方体中，点， 分别在棱上，且，．
   
(1)证明：；
(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．

4 . 如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．
   
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．

5 . 在正三棱台中，，，为中点，在上，.

   

(1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

6 . 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.

(1)证明：；
(2)若，求二面角的正弦值.

7 . 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱上靠近的三等分点，底面，且.

(1)在侧棱上是否存在点，使得点四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的余弦值.

8 . 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，，为的中点，为线段上一点，且.

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求证：平面平面.

9 . 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面 ，为的中点，．

（1）求证：平面 ；
（2）设，求点到平面 的距离．

10 . 如图，在正三棱柱中，点是棱的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．