1 . 在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．
(1)求动点的轨迹的方程．
(2)已知点问：在上是否存在点使得为等边三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请说明这样的点有几组（不必说明点的坐标）．

3 . 已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线焦点的直线与相交于两点，面积的最小值为4.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有.若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由.

4 . 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．
   
(1)求的取值范围；
(2)求点的坐标．

6 . 如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线的一部分图象．已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处，此时，，．设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．
   
(1)求曲线的方程；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，已知的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．

7 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线准线与轴交于点.
(1)请写出满足的点的一组坐标；
(2)证明：；
(3)若将过焦点改为过点的直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在点，使得，不需要说明理由，若存在写出点坐标.

8 . 已知抛物线：的焦点为F，过点的直线与相交于A，B两点.当直线经过点时，点A恰好为线段PF的中点.
(1)求的方程；
(2)是否存在定点T，使得为常数?若存在，求出点T的坐标及该常数﹔若不存在，说明理由.

10 . 如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.

(1)求抛物线方程；
(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点