1 . 古希腊哲学家发现并证明了只存在5种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，其中正八面体是由8个等边三角形构成．正八面体在计算机科学中用于三维模型和场景的构建，以及人工智能领域中用于图象识别和处理，另外在晶体和材料科学中也被广泛应用．现有一个棱长为2的正八面体，如图所示，下列说法中正确的是（       ）

   

A．若点在同一个球的球面上，则该球的体积为

B．若该正八面体的12条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为

C．该正八面体内任意一点到8个侧面的距离之和为定值

D．已知正方体的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为

2 . 现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题：
(1)若“维立方体”的顶点个数为，“维立方体”的顶点个数为，求的值；
(2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望.

3 . 圆锥曲线的“外准圆”也叫“蒙日圆”，它是由法国数学家加斯帕尔·蒙日发现的．它说的是：圆锥曲线上任意两条互相垂直的切线的交点在同一个圆上，这个圆就叫外准圆．其中圆锥曲线的中心就是外准圆的圆心，而直线在高等数学中也称为半径为无穷大的圆．双曲线只有当时才有外准圆，则下列结论正确的是（       ）

A．面积为S的圆的外准圆的面积是

B．椭圆的外准圆方程为

C．抛物线的外准圆是

D．双曲线的外准圆方程为

4 . 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（       ）

A．曲线C与y轴的交点为，	B．曲线C关于x轴对称
C．面积的最大值为2	D．的取值范围是

5 . 攒尖顶是中国传统建筑屋顶表现手法，多用于面积不大的建筑，如故宫的中和殿．攒尖根据脊数多少，分三角攒尖顶、四角攒尖顶、六角攒尖顶、八角攒尖顶，具有较强的艺术装饰效果．一建筑屋顶想采用攒尖形式，有三种设计方案，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，若将三种方案中屋顶分别看成正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的侧面，且各正棱锥底面面积相同，各正棱锥侧面与底面所成角相等．那么三种设计中正棱锥侧面积最小的为（       ）

A．三角攒尖

B．四角攒尖

C．八角攒尖

D．面积一样大

6 . 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一"“三分益一"两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度生得长度，两种方法可以交替运用､连续运用，各音律就得以辗转相生，假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为___________.