1 . 定义两个非空数集的“和集”为，对有限集合，记．
(1)已知，，求出与；
(2)任取非空有限数集，证明：；
(3)的非空子集满足：，都有，求．

2 . 若，则称在区间上的图象是凹的；若，则称在区间上的图象是凸的.
(1)判断函数在区间上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论；
(2)判断函数在区间上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论.

3 . 阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质.
（一）三角形的“四心”
1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
（二）三角形“四心”的向量表示
在中，角所对的边分别为.
1.三角形的重心：是的重心.
2.三角形的垂心：是的垂心.
3.三角形的内心：是的内心.
4.三角形的外心：是的外心.
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题：

(1)在中，若，求的重心的坐标；
(2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：.

4 . 已知集合，，其中，且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A具有性质P．
(1)判断集合是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；
(2)若集合具有性质P．
①求证：的最大值不小于；
②求n的最大值．

5 . 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则.

如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有.
下面是该定理的证明过程（部分）
延长交于点，过点作的直径，连接，.
，（同弧所对的圆周角相等）.
.
，
，①
如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，
如图2，动手连接，，，.
是的直径，所以.
与相切于点，所以，
.
（同弧所对的圆周角相等），
，
.
②
(1)观察发现：___________，___________（用含，的代数式表示）；
(2)请观察式子①和式子②，并利用任务（1）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分.

6 . 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．

7 . 给定区间和正常数a，如果定义在R上的两个函数与满足：对一切，均有，称函数与具有性质.
(1)已知，判断下列两组函数是否具有性质？①，；②，；（不需要说明理由）
(2)已知，是周期函数，且对任意的，均存在区间，使得函数与具有性质，求证：；
(3)已知，，若存在一次函数与具有性质，求实数m的最大值.

8 . 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系．
(1)分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论；
①，；，；
②，；，；
(2)若与具有关系，求m的取值范围；
(3)已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有．
求证：与不具有关系．

9 . 已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，则称数列{}具有性质P．
(1)已知，判断数列{}，{}是否具有性质P；
(2)若数列{}具有性质P，证明：{}的各项均为整数；
(3)若，求具有性质P的数列{}的个数．

10 . 已知函数．若存在使得是严格增函数，那么称为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，．）
(1)判断以下函数是否是“缓降函数”①   ②（无需写出理由）；
(2)求证：是“缓降函数”；
(3)已知，求证：是“缓降函数”的充要条件是．