1 . 某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：

复习时间	2	3	5	6	8	12	16
考试分数	60	69	78	81	85	90	92

甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现与之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立与之间的线性经验回归方程.

考前一周复习投入时间（单位：h）	政治成绩		合计
	优秀	不优秀
≥6h
<6h
合计			50

(1)预测当时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；
(2)经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.
附：，，，，，
，.

	0.01	0.005	0.001
	6.635	7.879	10.828

2 . 如图，在正方体中，M，N，P分别是的中点.

（1）求证：//平面；
（2）平面过三点，则平面截此正方体的截面为一个多边形.
①仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；
②若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长.

3 . 在图形计算器中作出函数，的图象，请写出作图步聚．

4 . 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了促使居民节约用水，决定在该市实行阶梯水价，为合理确定出阶梯水价的用水量标准，从该市随机调查了100户居民，获取了他们去年的月人均用水量（单位：吨），并列出了月人均用水量的频数分布表（）．

月人均用水量
频数	4	6	14	18		16	8	7	3

(1)求出的值，并补全频率分布直方图；
(2)市政府举行听证会后，决定实施阶梯水价：家庭人均月用水量不超过吨的部分，水价为3元/吨；超过吨但不超过3.5吨的部分，水价为5元/吨；超过3.5吨的部分，水价为8元/吨．结合听证会上市政府的决定，为确保超过60%但不超过70%的居民只用3元/吨的水费，求的标准值（取0.5的整数倍）．
(3)按照（2）中的方案，请你写出常住人口为的家庭月用水量为吨时，应缴水费的表达式．

5 . 易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．
（1）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；
③上盖､下底､侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计．
（2）建立模型
记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖､下底和侧壁的厚度分别为，
金属用料总量为C．
由几何知识得到如下数量关系：
①
②

由①得，代入②整理得：．

因为都是常数，不妨设，
则用料总量的函数简化为．
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________．
（3）求解模型：
所以，在___________(用表示)时，取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（4）检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
（5）模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：_________________________________________________________________________________________________．
相应改进措施为：_________________________________________________________________________________________________________________________________．

6 . 甲乙在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示：
   

	平均数	中位数	方差	极差	命中9环及以上次数
甲	7		1.2		1
乙			5.4

(1)请补充填写上表；
(2)根据你所学的统计学知识，从不同的角度对这次测试结果进行分析．

7 . 为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为.根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”.抽样统计后得到的数据如下：

质量指标值
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量

(1)填写下面的列联表，计算，并判断能否有的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关；

	优等品	非优等品	合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计

(2)由于样本中来自乙生产线“非优等品”的个数多于来自甲生产线的，为找出原因，该厂质量控制部门在抽出的“非优等品”中，按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出件产品，然后再从中随机抽出件产品进行全面分析，求其中至少有件是乙生产线生产的产品的概率.
附：，.

k

8 . 幂函数的增长快慢和幂指数的大小密切相关．但是，增长很快的幂函数和增长比较慢的指数函数相比，仍然是小巫见大巫．请用计算器计算并填写下表，探索这个现象．

0
1
30
50
100
150
200
250

9 . 数学建模的一般过程：

二、数学建模活动的要求
1．组建合作团队
数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3—5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．
2．开展研究活动
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．
3．撰写研究报告
以小组为单位，撰写一份研究报告
4．交流展示
（1）对同一个课题，先由3—4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿！
（2）与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动：
三、数学建模活动研究报告的参考形式
_____年_____班       完成时间：

1．课题名称
2．课题组成员及分工
3．选题的意义
4．研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等）
5．研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等）
6．研究结果
7．收获与体会
8．对此研究的评价（由评价小组或老师填写）

四、数学建模活动研究报告样例
__2022___年_　　1　　_班       完成时间：2022.6.24

1．课题名称	潮汐问题
2．课题组成员及分工	张三（收集数据）李四 王五 （建模及其分析）
3．选题的意义 通过研究港口水深与时间的关系理解潮汐这个周期现象，能用所学的正弦型函数刻画这个周期现象，并能力利用所建模型解决一些简单的实际问题.
4．研究计划 潮汐问题是一种周期现象，在高中数学中，周期现象的刻画可以用周期函数，较为常见的周期函数为正弦型函数或余弦型函数或正切函数，另外，我国港口众多，货船进出港口非常频繁，其安全性是我们要考虑的重要问题，通过此类问题的研究，为周期函数的应用提供载体，也希望通过问题的研究，提升我们自己学习数学的兴趣.
5．研究过程 （1）利用互联网等信息工具收集与潮汐有关的资料， （2）结合港口货船进出安全，收集水深与时间的数据； （3）利用几何画板、图形计算器等拟合函数并解决实际问题
6．研究结果 针对我们收集的数据及对数据的分析，我们发现时较为合适的模型，且解三角不等式后可得合适的进出港口的时间.
7．收获与体会 一方面我们了解了潮汐对港口水深的影响，另一方面发现我们的所学的数学知识能够应用到实际生活中，这就是数学有魅力的地方.
8．对此研究的评价（由评价小组或老师填写） 潮汐问题的研究有一定的实用价值，而且处理数据的方法得到，所得模型合理，问题解决较为妥当，其实生活中的周期现象很多，望同学继续研究.

10 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情境
当同学们坐在教室里环顾四周，你们一定会发现周围有很多 “四眼哥”、“四眼妹”，你也一定碰到因为视力问题想调换座位的同学.在体育课上，你肯定也尝到了苦头：跑步、跳绳也好，踢毽子、跳皮筋也罢，眼镜在你的鼻梁上跳得比你还欢快；冬天，一碗热腾腾的面条端上来，你马上就模糊双眼，视力问题给学习和生活带来诸多不便.
（2）提出问题
根据患者近视度数分类，可以分为轻度近视、中度近视、高度近视.轻度近视是指近视的度数小于等于300度，中度近视是指近视的度数在300度到600度之间.高度近视是指近视的度数大于600度.在本地区，各类近视的比例如何？近视眼形成的原因是什么？又有哪些相应的对策？
（3）分析问题
调查分析是解决此类问题的基本方法，首项要设计调查问卷，其次需统计问卷并分析数据，从而得到相应的结论.
2．收集数据
利用问卷星、问卷调查平台等设计高中生视力问题调查问卷，设计的问卷如下：

某地高中生视力情况调查问卷

您好，平常学习生活中发现身边有不少的同学视力堪忧，为了了解视力问题产生的根源，寻找预防视力下降的有效方法，我们设计了一份调查问题，希望得到您的支持，并希望您如实填写，谢谢！
1.你是否注意有卫生用眼的习惯？（     ）
A．总是                           B.经常                    C.偶尔          D.从不
2.你看书时眼睛与书的距离是（     ）
A．15-20cm                           B.30-35cm                    C.40-60cm          D.80-100cm
3.你欣赏电视节目时，电视与你的距离为（     ）
A．大于4米                           B.3-4米                    C.2-3米          D.小于2米
4.你在家看书时或写字时，光照充足吗（     ）
A．合适                         B.偏暗                    C.偏亮          D.过亮
5.你在学校做眼保健操的情况是（     ）
A．不做                         B. 偶尔                  C.经常          D.一直
6.乘坐公交汽车或家用小轿车时你看书吗（     ）
A．总是                           B.经常                    C.偶尔          D.从不
7.每天你写家作的时间为（     ）
A．1个小时内                         B. 1-2个小时             C. 2-3个小时        D.3个小时以上
8.在学校学习生活时，教室的灯光（     ）
A．合适                         B.偏暗                    C.偏亮          D.过亮
9.你在家看书时或写字时，光照充足吗（     ）
A．合适                         B.偏暗                    C.偏亮          D.过亮
10.你认为近视眼可以防治吗（     ）
A．可以防治                       B.可以防不可以治                    C.不知道          D.不能防治
11.下面哪个药物不能缓解眼镜疲劳（     ）
A．闪亮                      B.润洁                    C.珍视明          D.阿司匹林
12.当你视力有问题时需立刻配置眼镜吗（     ）
A．立刻                      B.无需                    C.等一等          D.检查再配置
13.你认为有哪些措施可以防治近视眼？
14.请你谈谈改善视力问题的其他建议.
本市共有高中（含职中）学生，收到有效问卷调查回馈份，各问题不同选项的人数见下表，

题号	选项A	选项B	选项C	选项D
1	332	867	1254	1299
2	621	1276	678	1177
3	212	1565	1121	854
4	2143	345	340	924
5	875	2231	466	180
6	1534	1256	665	297
7	436	687	1154	1475
8	860	372	956	1564
9	321	677	1086	1668
10	732	1146	1368	506
11	966	1159	1364	263
12	643	1155	1407	547

3．分析数据
根据上述的统计数据可得各选项的比例如下表：

题号	选项A	选项B	选项C	选项D
1	0.088486	0.231077	0.334222	0.346215
2	0.165512	0.340085	0.180704	0.313699
3	0.056503	0.417111	0.298774	0.227612
4	0.571162	0.091951	0.090618	0.246269
5	0.233209	0.594616	0.1242	0.047974
6	0.408849	0.334755	0.177239	0.079158
7	0.116205	0.183102	0.307569	0.393124
8	0.229211	0.099147	0.254797	0.416844
9	0.085554	0.180437	0.289446	0.444563
10	0.195096	0.305437	0.364606	0.134861
11	0.257463	0.308902	0.363539	0.070096
12	0.171375	0.307836	0.375	0.145789

从上述统计中我们发现高中生平时不太注意用眼的卫生习惯，占比达到，而且平时也不注意科学用眼，比如看书时书眼距要求为30-25，知晓的比例仅有，虽然各校均有眼保健操，但未落实到位，一直做眼保健操的仅有，这可能与老师的占课抢课有很大的关系.
而对于眼镜的养护与视力的纠正，很少同学知道使用护理液，当然这也和家长的关心较少有关，较少同学知道近视眼之后不能立刻配置眼镜，仅有的同学知晓先检查再配置，也有的同学认为需立刻配置.
在双减的政策下及新课程正确教学理念的指导下，各校的课后作业或家作理论上都得到控制，但从统计数据看，学生家作的时间超过了3个小时的占比接近，用眼过度（作业量过大）也是导致近视眼的一个重要因素.
4.问题解决
根据上述的统计数据，我们提出如此建议与措施：
（1）将每日的眼保健操落实到位
（2）培养卫生用眼的习惯
（3）加强教育教学管理
（4）合理安排学生的业余活动
5.问题拓展
目前电子产品在学生中很流行，有的学生认为经常使用电子产品不影响学习，有的学生则反之，认为会影响学生，请就这个问题做一个调查分析.