1 . 对一般的实系数一元三次方程，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．
卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成．
阅读以上材料，求解方程．

2 . 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

3 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情境
企业的生产经营活动，最终以利润论成败，利润的本质是企业盈利的表现形式，是全体职工的劳动成绩，企业为市场生产优质商品而得到利润，注意利润是对全部成本而言的.一个企业有利润，意味着该企业有一定的盈利能力，意味着企业具有较强的获取现金的能力，影响利润的因素较复杂，如果排除一些较为复杂的因素，我们是否可以预测利润，为企业的发展献计献策？
（2）提出问题
为长期获得可观的利润，应该如何制定企业的发展策略？
（3）分析问题
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，企业的发展必然受到利润率的制约，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，我们可以根据企业成本与利润的数据，通过数学模型达到转型预测的目的.
2. 收集数据
下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
投资成本	3	5	9	17	33		…
年利润	1	2	3	4.1	5.2		…

①选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
②试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
3.分析数据
先根据表中数据，刻画出散点图，根据散点图的特征选择合适的函数.利用几何画板等工具，得到的散点图如下图：

根据散点图的形式，结合我们所学的函数图像，发现模型的不确定.
4．建立模型
（1）幂函数型
根据散点图的形式，可假设（，且），
则，化简得到，
设，利用几何画板、图形计算器等可求得此方程的解为，不合题意舍.

（2）对数函数模型
设（，且），
则，解得，∴.
（3）指数函数模型
设，
则，故，，，
故，
但当时，，故指数函数模型不合适.
结合以上分析，我们发现对数函数函数模型较为合适.
5．检验模型
我们用余下的数据进行检验，
当时，；当，，这两组数据与实际的数据比较接近，故选择对数函数模型.
6．问题解决
由题知，解得.，
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
7．问题拓展
在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了不同的函数模型，然后利用前3个点求出对应的函数形式，否定了其中两个不合的函数模型，那么请同学思考一下是否有更合适的模型？

4 . 已知函数是指数函数.
(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
(2)解关于的不等式：.

5 . 数学建模的一般过程：

二、数学建模活动的要求
1．组建合作团队
数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3—5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．
2．开展研究活动
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．
3．撰写研究报告
以小组为单位，撰写一份研究报告
4．交流展示
（1）对同一个课题，先由3—4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿！
（2）与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动：
三、数学建模活动研究报告的参考形式
_____年_____班       完成时间：

1．课题名称
2．课题组成员及分工
3．选题的意义
4．研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等）
5．研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等）
6．研究结果
7．收获与体会
8．对此研究的评价（由评价小组或老师填写）

四、数学建模活动研究报告样例
__2022___年_　　1　　_班       完成时间：2022.6.24

1．课题名称	潮汐问题
2．课题组成员及分工	张三（收集数据）李四 王五 （建模及其分析）
3．选题的意义 通过研究港口水深与时间的关系理解潮汐这个周期现象，能用所学的正弦型函数刻画这个周期现象，并能力利用所建模型解决一些简单的实际问题.
4．研究计划 潮汐问题是一种周期现象，在高中数学中，周期现象的刻画可以用周期函数，较为常见的周期函数为正弦型函数或余弦型函数或正切函数，另外，我国港口众多，货船进出港口非常频繁，其安全性是我们要考虑的重要问题，通过此类问题的研究，为周期函数的应用提供载体，也希望通过问题的研究，提升我们自己学习数学的兴趣.
5．研究过程 （1）利用互联网等信息工具收集与潮汐有关的资料， （2）结合港口货船进出安全，收集水深与时间的数据； （3）利用几何画板、图形计算器等拟合函数并解决实际问题
6．研究结果 针对我们收集的数据及对数据的分析，我们发现时较为合适的模型，且解三角不等式后可得合适的进出港口的时间.
7．收获与体会 一方面我们了解了潮汐对港口水深的影响，另一方面发现我们的所学的数学知识能够应用到实际生活中，这就是数学有魅力的地方.
8．对此研究的评价（由评价小组或老师填写） 潮汐问题的研究有一定的实用价值，而且处理数据的方法得到，所得模型合理，问题解决较为妥当，其实生活中的周期现象很多，望同学继续研究.

6 . 设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.

7 . 下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.

8 . 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：

1 750	0.37	0.55

参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：

x(天)	1	2	3	4	5	6	7
y(秒/题)	910	800	600	440	300	240	210

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．

9 . 无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：

卖场	1	2	3	4	5	6
宣传费用	2	3	5	6	8	12
销售额	30	34	40	45	50	60

(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.
①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.

10 . 某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为A类体操），原来的大课间运动体操（记为B类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否有关，分别对使用A类体操与B类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了100个学生的问卷调查情况，得到如下数据：

	喜爱	不喜爱
A类体操	70	30
B类体操	40	60

(1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关？
(2)从样本的喜爱大课间运动的学生中，按A、B类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率．
附：，