1 . ”鸡兔同笼”我国隋朝时期数学著作《孙子算经》中的一个有趣题目:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”
(1)求出鸡、兔各几只?
(2)根据提示,设计这类问题的通用解法,并画出算法的程序框图.
解:设有
只鸡,
只兔,总头数为
,总脚数为
,则
,解方程得:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/614338fcf6eeb0c6d36672e50518e61c.png)
用数学语言:
第一步:输入______,______;
第二步:计算鸡的只数______;
第三步:计算兔的只数______;
第四步:输出______.
(1)求出鸡、兔各几只?
(2)根据提示,设计这类问题的通用解法,并画出算法的程序框图.
解:设有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c98d21cecf0caadb3412dad3e857b92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/614338fcf6eeb0c6d36672e50518e61c.png)
用数学语言:
第一步:输入______,______;
第二步:计算鸡的只数______;
第三步:计算兔的只数______;
第四步:输出______.
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2 . 阅读与思考,请阅读下列科普材料,并完成相应的任务.
任务:
(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性;
(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性:
①用公式
计算:当
,
时,
的值为多少;
②如图,在
中,
,
是
的角平分线,
,
,用你所学的几何知识求线段
的长.
图算法也叫诺模图,是根据几何原理,将某一已知函数关系式中的各变量,分别编成有刻度的直线(或曲线),并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形,可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度,我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系:![]() ![]() ![]() ![]() 再看一个例子:设有两只电阻,分别为5千欧和7.5千欧,问并联后的电阻值是多少? ![]() 我们可以利用公式 ![]() ![]() ![]() 图算法得出的数据大多是近似值,但在大多数情况下是够用的,那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员,往往更能体会到它的优越性. |
(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性;
(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性:
①用公式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80d2cdc7b545f61c01ef0fe698bac83a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d6530ef698b87414f27d25d066f64904.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a968a1860f6c010cf5246fc281f83073.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
②如图,在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/866b81a8384cce4f24867baca2e6820c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ff5c21185c13eae675906dabd3593c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/828628c0876b45381c9a0edeb0fec236.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/866b81a8384cce4f24867baca2e6820c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5a7e5b015220af973a3e4abd5228fd9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b42602dabcdc7bdaba0ee0af37d71f0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/828628c0876b45381c9a0edeb0fec236.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/1/5/aa65f069-7634-4c15-8deb-c317306a38e7.png?resizew=167)
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解题方法
3 . 已知函数
的图象过原点,且无限接近直线
但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并画出图象;
(2)判断该函数的奇偶性和单调性;
(3)求不等式
的解.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b852b172e87bac6ab8882634e1780d0f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/107babba45f110012183dc4dc54490f7.png)
(1)求该函数的解析式,并画出图象;
(2)判断该函数的奇偶性和单调性;
(3)求不等式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5be1d8c6384d7fabddb693b2b7fcdf4a.png)
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2023-09-07更新
|
444次组卷
|
5卷引用:浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一上学期8月暑期返校考试数学试题
浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一上学期8月暑期返校考试数学试题(已下线)4.2 指数函数(精练)-《一隅三反》(已下线)第三章 指数运算与指数函数章末测试-同步精品课堂(北师大版2019必修第一册)安徽省2023-2024学年高一上学期期末模拟考试数学试题内蒙古通辽市科尔沁2023-2024学年高一上学期期末综合测试数学试题(二)
4 . 已知二次函数
是R上的偶函数,且![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/583092e098262aa554e227d8a5351c15.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/18/5b7e798e-ad9d-4373-8864-329e7173f785.png?resizew=242)
(1)求
的解析式,画出函数
的图像并写出它的单调区间,不需证明;
(2)当
时,解关于x的不等式
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/583092e098262aa554e227d8a5351c15.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/18/5b7e798e-ad9d-4373-8864-329e7173f785.png?resizew=242)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d6e28dbfcdd6fb66b9ff759be044287.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be1ce3f01e2b6364f9a9fdaf197d5e29.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca7dc3843724c7dfd0b503ad04e078da.png)
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解题方法
5 . 已知
是定义在
上的奇函数,且
时
.
(1)求
的解析式并画出函数的图象;
(2)利用所画图象判断函数的单调性,并解关于
不等式:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e3dab33a3665fa93bbd55f1fac6a645.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
(2)利用所画图象判断函数的单调性,并解关于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f747830eb92ceb0c603e91e7707e0ec1.png)
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2021-12-06更新
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416次组卷
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2卷引用:福建省厦门大学附属科技中学2021~2022学年高一上学期期中考试数学试题
21-22高二·全国·课后作业
6 . 观察实际情景,提出并分析问题
(1)实际情景
双十—就要到了,那时候大家都很忙,卖家搞促销,想赚更多的钱,买家想货比三家,买到物美价廉的商品,在这个交易过程中,快递不可或缺,你们有没有发现,商品都会被形形色色的盒子所包装,对于快递公司而言,包装同一个商品,用的材料越少越好,而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好,这样制作非常环保.
(2)提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪,做成一个无盖的方底纸盒,当盒底边长与高分别为多少时,盒子容积最大?最大容积是多少?
(3)分析问题
容积的计算依据裁剪的方法,由学生根据自己所学知识确定裁剪方法,确定剪裁方法后,我们可以通过长度关系,用未知数表示盒子容积,根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法.
2.收集数据
现有一个面积为
平方厘米的正方形纸板
.
3.剪裁过程
裁剪方案1:去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得正方形的四个点重合于图中的点
,正好形成一个长方体形状的包装盒.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/c895d997-d1c9-4bd8-8d3b-1584e1fac764.png?resizew=326)
裁剪方案2:如图所示,先在正方形的相邻两个角各切去边长为
的正方形,然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为
、
的矩形,再将剩余部分沿图中的虚线折起.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/5f16f87e-012c-4fe9-a3c1-ba6184f18efb.png?resizew=368)
4.问题解决
裁剪方案1:设包装盒的高为
,底面边长为
,
则
,
,
,
所以
,
;
可得
,
当
时,
;当
时,
,
所以函数
在
上递增,在
上递减,
当
时,
取得极大值也是最大值:
.
所以当
时,包装盒的容积最大是
.
裁剪方案2:因为包装盒高
,底面矩形的长为
,宽为
,
所以包装盒的容积为
,
函数的定义域为
.
,
令
,解得
,
∴当
时,
,函数
单调递增;
当
时,
,函数
单调递减,
∴当
时,函数
取得极大值,也是函数
的最大值,
所以![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2879926a0ba77b655bf2132d7f45cce6.png)
.
比较两种模型,故选择裁剪方案1.
5.检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法,可能会有其他的裁剪方法,求得的容积可能会更大.
6.延伸拓展
请同学们集思广益,研究一下是否有其他裁剪方法,并计算出相应的容积的最大值.
(1)实际情景
双十—就要到了,那时候大家都很忙,卖家搞促销,想赚更多的钱,买家想货比三家,买到物美价廉的商品,在这个交易过程中,快递不可或缺,你们有没有发现,商品都会被形形色色的盒子所包装,对于快递公司而言,包装同一个商品,用的材料越少越好,而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好,这样制作非常环保.
(2)提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪,做成一个无盖的方底纸盒,当盒底边长与高分别为多少时,盒子容积最大?最大容积是多少?
(3)分析问题
容积的计算依据裁剪的方法,由学生根据自己所学知识确定裁剪方法,确定剪裁方法后,我们可以通过长度关系,用未知数表示盒子容积,根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法.
2.收集数据
现有一个面积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ac38bb42a83e0fe2765b3548ca303ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
3.剪裁过程
裁剪方案1:去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得正方形的四个点重合于图中的点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/c895d997-d1c9-4bd8-8d3b-1584e1fac764.png?resizew=326)
裁剪方案2:如图所示,先在正方形的相邻两个角各切去边长为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84d0abc998ec2b780be50b061c3de05c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dde7ecce8a793b8a5f25fc1651207b83.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84d0abc998ec2b780be50b061c3de05c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/5f16f87e-012c-4fe9-a3c1-ba6184f18efb.png?resizew=368)
4.问题解决
裁剪方案1:设包装盒的高为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8f4f9e6422ad83660ff1bab3d35984d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23c15e0aedfc6f6d2683107ddf363461.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d40bd88a793dcda6e7b97eebd7d6b0b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d09b57d135bbb34c183d946a48c93bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef64bb445ca1e2e0c7ee8582eb9412fa.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c92f74ca7bfc5a0b79a32a9d00686c01.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62524d743ab1c511c986636abe22d7ef.png)
可得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/731786e0b0467bfbc2d8ece9f535bbe2.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/748bf84fb77f3d6c858a62f4c7094fcc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/549ca05759c66a64ceefa61bd947c93d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d15a0d132d0bc67c99075269e75c63ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95378fdba05d450342db0d84a1b01ed.png)
所以函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ce65c6fc7cab2fd70ed05079c4a10b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa596144c146c70cd052b78ec8a42759.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5529b6cc214b0192da6e0053f2301399.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68d6415b3363727ae9f0aad1d0bf0ca4.png)
所以当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b728cdc53b94a1a89557aee9b47b3507.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/001c6f2144e9ced7f710733e35e6063f.png)
裁剪方案2:因为包装盒高
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83962b75b7a567cb9014ee38a3a8d1f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d88738f7d674d1ffec111a7ebb6d1ef3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b33d9ac1186ceec491de9ee510f6aaf7.png)
所以包装盒的容积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f395b774d1f4aac69f96d5176653ba9.png)
函数的定义域为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f7d021cb696d67120b0305adcf0f4be.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b7ee52cca87b202e4aeab5083e65c81.png)
令
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b58994af8eb805c6ef77e061abfc341b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31c1f0ec76ff53c1e6f2d5c10bb77a65.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/328048bf1e477b5b5ba004b0181f126e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/549ca05759c66a64ceefa61bd947c93d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80e6386ca463afca0549bf2a268df3e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95378fdba05d450342db0d84a1b01ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31c1f0ec76ff53c1e6f2d5c10bb77a65.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2879926a0ba77b655bf2132d7f45cce6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eebfe47866d572265c4ea639304abbc6.png)
比较两种模型,故选择裁剪方案1.
5.检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法,可能会有其他的裁剪方法,求得的容积可能会更大.
6.延伸拓展
请同学们集思广益,研究一下是否有其他裁剪方法,并计算出相应的容积的最大值.
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7 . 已知函数![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0426bfa79631f4cdca2ecf642dd657ab.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/1/31/2389120784867328/2389671935541248/STEM/acff0eba8fe04224840eb41d81b93b85.png?resizew=393)
(1)求
的值;
(2)在绘出的平面直角坐标系中,画出函数
的大致图像;
(3)解关于
的不等式
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0426bfa79631f4cdca2ecf642dd657ab.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/1/31/2389120784867328/2389671935541248/STEM/acff0eba8fe04224840eb41d81b93b85.png?resizew=393)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba1e8ae93be5d4f44440dc3d2613d0ea.png)
(2)在绘出的平面直角坐标系中,画出函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
(3)解关于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/79d5a0e25aebe1cc182d2247ed344652.png)
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2020-02-01更新
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503次组卷
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2卷引用:山东省潍坊市2019-2020学年高一上学期期末数学试题
名校
8 . 已知定义在
上的奇函数
,当
时,
.
(1)求函数
的解析式;
(2)画出函数
在
上的图象;
(3)解关于
的不等式
(其中
).
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(1)求函数
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(2)画出函数
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(3)解关于
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2019-12-01更新
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172次组卷
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2卷引用:浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题
9 . 对数函数与指数函数的图象与性质.
过点
的切线方程,并画出对数曲线和所求切线的图象.
(2)观察(1)中的图象,你发现切线在切点
附近非常接近曲线吗?当
很小时,你能得出近似公式吗?试用此近似公式计算
以及
的近似值.
(3)再观察(1)中的图象,你可以发现切线
行在曲线
上方,即对所有的
,不等式
恒成立.试通过理论推导证明这个不等式.(提示:求函数
的最小值.)
(4)对数曲线:
关于直线
的轴对称图形
是什么函数的图象?对数曲线的切线的轴对称图形是曲线
的切线吗?试写出它的方程,并判断该切线是在曲线
的上方还是下方.你能得出什么不等式?
(5)为什么对数曲线
在点
处的切线的斜率
“正好”等于1?
因为当
时,
斜率
.
又因为当
,
,因此
.若将对数的底数取
,则切线的斜率
.
试仿此求出曲线
在点
处的切线方程.形式上复杂吗?
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(2)观察(1)中的图象,你发现切线在切点
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(3)再观察(1)中的图象,你可以发现切线
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(4)对数曲线:
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(5)为什么对数曲线
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因为当
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又因为当
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试仿此求出曲线
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