3 . 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
(1)函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号）
(2)已知函数．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
(3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．

4 . 定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”.
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是           

A．平行四边形

B．矩形

C．正方形

D．菱形

(2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H.

①试判断四边形是否为“等补四边形"并说明理由；
②如图2，连接，求的周长;
③若四边形是“等补四边形”，求的长，

5 . 我们定义:对于一个函数，如果自变量x与函数值y，满足:若，则 （为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如: 函数在上是同步函数.理由:
得，∴在上是同步函数.
(1)若函数在上是同步函数，求的值；
(2)已知反比例函数在上是同步函数，求的值；
(3)若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为4a，设抛物线与直线交于A，B点，与y轴相交于C点.若的内心为G，外心为M，试求的长.

6 . 有两条抛物线相交于，并满足，其中为常数，我们不妨把叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
(1)若两条抛物线相交于两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
(2)若抛物线1：与抛物线2：相交于两点，其中，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
(3)如图，在（2）的条件下，设抛物线1和抛物线2分别与轴交于C，D两点，AB所在的直线与轴交于E点，若点A在轴上，，，抛物线2与轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求

7 . 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动(每位同学的矩形纸片规格不同)．老师规定矩形纸片按如下方式操作(如图1)．
操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点；
操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．

(1)根据以上操作可知的度数为　　　　．
(2)如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由．
(3)如图3，在小华的矩形纸片中，若经过小华折叠后的，请直接写出的长．

8 . 抛物线交x轴于两点，交y轴于点，点Q为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最小值；
(3)过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与面积分别为，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

9 . 对于正整数，定义为的各数码之和．比如．
(1)求的所有可能值．
(2)我们称满足为整数的为“长沙数”．求1到2022中“长沙数”的个数．

10 . 在中，．的平分线所在直线为，抛物线经过三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点，点在直线上运动，点在抛物线上运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的横坐标．
(3)设点为抛物线上一点，满足，求点的坐标．