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1 . 设集合
），若
是
的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集.
(1)写出
的所有奇子集;
(2)求证：的奇子集与偶子集个数相等；
(3)求证：当
时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集.(1)写出
的所有奇子集;(2)求证：
的奇子集与偶子集个数相等；(3)求证：当
时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
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解题方法
2 . 在平面直角坐标系中，抛物线
交
轴于点
，交
轴于点
.
(2)如图1，在直线
下方的抛物线上有一点
，作
轴交
于点
，作
于
，求
的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线
方向平移
个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点
，在新抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由.
交轴于点，交轴于点.
(2)如图1，在直线
下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，将抛物线
沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由.
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3 . 在
中，为直线上一动点，连接
，将绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
与
相交于点.为的中点，
，连接
，求线段的长；
(2)如图2，是线段
延长线上一点，在线段上，连接
，若
，
，证明
；
(3)如图3，若为等边三角形，
，点
为线段上一点，且
，点是直线上的动点，连接
，请直接写出当
最小时
的面积.
中，为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接与相交于点.
为的中点，，连接，求线段的长；(2)如图2，
是线段延长线上一点，在线段上，连接，若，，证明；(3)如图3，若
为等边三角形，，点为线段上一点，且，点是直线上的动点，连接，请直接写出当最小时的面积.
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24-25高一上·重庆沙坪坝·开学考试
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4 . 已知某二次函数图象的顶点坐标为
，且图象经过点
．
(1)求该二次函数的解析式，
(2)若当
时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求
的值；
(3)已知点
，若该函数图象与线段
只有一个公共点，求
的取值范围．
，且图象经过点．(1)求该二次函数的解析式，
(2)若当
时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求的值；(3)已知点
，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值范围．
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5 . 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，
，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形
.
时，
①求三角形
的面积.
②若
，求m、n.
(2)若，求
的最小值.
，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.
时，①求三角形
的面积.②若
，求m、n.(2)若
，求的最小值.
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6 . 我们知道复数有三角形式
，其中
为复数的模，
为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若
，
，则
．其几何意义是把向量
绕点
按逆时针方向旋转角
（如果
，就要把
绕点按顺时针方向旋转角
），再把它的模变为原来的
倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形
，其边长为
，
，点
所对应的复数分别为
，
，
．
，求出，；
(2)如图，若
，以
为边作正方形
．
（ⅰ）若
在
下方，是否存在复数使得
长度为
，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量
，求
的范围．
，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，．
，求出，；(2)如图，若
，以为边作正方形．（ⅰ）若
在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；（ⅱ）若
在上方，且向量，求的范围．
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7 . 定义：在平面直角坐标系中，直线
与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数
的图象，则它关于直线
的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为
关于直线
的“迭代函数”的解析式为______．
(2)若函数
关于直线的“迭代函数”图象经过
，则
______．
(3)已知正方形
的顶点分别为：
，
，
，
，其中
．
①若函数
关于直线
的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值；
②若
，函数关于直线
的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求
的取值范围．
与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为
关于直线的“迭代函数”的解析式为______．(2)若函数
关于直线的“迭代函数”图象经过，则______．(3)已知正方形
的顶点分别为：，，，，其中．①若函数
关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值；②若
，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围．
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2024-08-19更新
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86次组卷
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3卷引用：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题
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8 . 在中，内角所对的边分别为
，且
.
(1)求；
(2)若
，
，求边上的角平分线
长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，
，求
的取值范围.
中，内角所对的边分别为，且.(1)求
；(2)若
，，求边上的角平分线长；(3)若
为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
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解题方法
9 . 如图，四棱锥
中，四边形
是平行四边形， 
是正三角形， 
平面 
平面
平面 
；
(2)当
时，
若是面
的重心，求直线
与平面所成角的正弦值；
棱
上是否存在一点
，使得二面角
的余弦值为 
如果有，求此时
的长度；如果无，请说明理由.
中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面
平面 ；(2)当
时，若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值；棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由.
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10 . 椭圆的对称中心为坐标原点，且与椭圆：
的离心率相等，焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
作两条相互垂直的直线
、
，其中直线与椭圆交于
、两点，直线与椭圆交于
两点，求四边形
的面积的取值范围.
的对称中心为坐标原点，且与椭圆：的离心率相等，焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过点
作两条相互垂直的直线、，其中直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的取值范围.
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