2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 在解决问题“已知正实数
满足
,求
的取值范围”时,可通过重新组合,利用基本不等式构造关于
的不等式,通过解不等式求范围.具体解答如下:
由
,得
,即
,解得
的取值范围是
.
请参考上述方法,求解以下问题:
已知正实数
满足
,则
的取值范围是______ .
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由
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请参考上述方法,求解以下问题:
已知正实数
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2 . 牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数
在
附近一点的函数值可用
代替,该函数零点更逼近方程的解,以此法连续迭代,可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法,解方程
,选取初始值
,在下面四个选项中最佳近似解为( )
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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名校
3 . 根据多元微分求条件极值理论,要求二元函数
在约束条件
的可能极值点,首先构造出一个拉格朗日辅助函数
,其中
为拉格朗日系数.分别对
中的
部分求导,并使之为0,得到三个方程组,如下:
,解此方程组,得出解
,就是二元函数
在约束条件
的可能极值点.
的值代入到
中即为极值.
补充说明:【例】求函数
关于变量
的导数.即:将变量
当做常数,即:
,下标加上
,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示分别对
进行求导.
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值.
(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数
满足
,求
的最大值.
(3)①若
为实数,且
,证明:
.
②设
,求
的最小值.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/244021f826099b18e31af1143597bba2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb5be11a5e6aaf00b2833930b198b4cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0203b006524305c3d8ee0b6c34cd872b.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1c3c1ed4fb65ab9505ad8078d8d0fb5.png)
补充说明:【例】求函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aebdee8d81b048b5aa520f7e8ba56ff2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5a1e15a54c6122c695239107dd0901bc.png)
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(1)求函数
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(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数
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(3)①若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd24c686fbaaa68705d654b880481ffe.png)
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②设
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4 . 阅读理解:高斯上小学时,有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法,计算起来非常烦琐,且易出错.聪明的小高斯经过探索后,给出了下面漂亮的解答过程.
解:设
①,则
②,
①+②,得
.
(两式左右两端分别相加,左端等于2S,右端等于100个101的和)
所以
,
③,所以
.
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
计算:
= _____ .
解:设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4663fd551144091fcd826a6ecd7a9603.png)
①+②,得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6800c25d59d4bf730f469ce16412a7fe.png)
(两式左右两端分别相加,左端等于2S,右端等于100个101的和)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d46540f510d1f3537e0453ebb1bd6e9a.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ac52232d822e91ac25df49702ba8c71.png)
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
计算:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24d7c6e74c5501a04785b710ffe91ec6.png)
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解题方法
5 . 在组合恒等式的证明中,构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法,该方法体现了数学的简洁美,我们将通过如下的例子感受其妙处所在.
(1)对于
元一次方程
,试求其正整数解的个数;
(2)对于
元一次方程组
,试求其非负整数解的个数;
(3)证明:
(可不使用组合分析法证明).
注:
与
可视为二元一次方程的两组不同解.
(1)对于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/114b84ba3234b9bb1bf9f64c172292d7.png)
(2)对于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa38e21db62123319c9557d1bc52825d.png)
(3)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d63a043e64f7ed5d168cd2c9384e953b.png)
注:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65fe832c0460e00120d4bc3636aebcaf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa6c8fe63bb58df1c5a12422e9c9e291.png)
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2024-03-08更新
|
1113次组卷
|
3卷引用:辽宁省2024届高三下学期3+2+1模式新高考适应性统一考试数学试卷
解题方法
6 . 阅读下列一段文字,并回答问题.
二元一次方程组
,
用向量表示为
. ①
用向量的加法与数乘法则,可将①式化为
. ②
即
, ③
由平面向量基本定理“如果
和
是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量
,存在唯一的一对实数
,
,使
”知,若向量
,
不共线,那么存在唯一的一对实数
使得
成立.
这样,从向量角度认识方程组,这里向量
,
不共线,就是方程组的对应系数
,方程组有唯一解.
那么,能用向量方法解释方程组有无穷解及方程组无解的情况吗?
二元一次方程组
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用向量表示为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/908e3cf4e28ff59b68d3d6cdc57313ed.png)
用向量的加法与数乘法则,可将①式化为
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即
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8996fd422b64c6e832306bd0d90a799e.png)
由平面向量基本定理“如果
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b95d660852c5226ff65a21cfb36b8b39.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/75b5dc876d7dcd3c971b36d26668b1e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7345f310975ddb40dca94b5135c35dad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f4df58718940c08cfe14ab7eace0f6f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b968435eea0fd7c3ecafa22b6836736.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3422bf2089a6b1f9e95e13cbd8b6c7c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/82a79a33a83a7ba57a34b5093d1d1d02.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8996fd422b64c6e832306bd0d90a799e.png)
这样,从向量角度认识方程组,这里向量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b968435eea0fd7c3ecafa22b6836736.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3422bf2089a6b1f9e95e13cbd8b6c7c.png)
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那么,能用向量方法解释方程组有无穷解及方程组无解的情况吗?
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7 . 对一般的实系数一元三次方程
,由于总可以通过代换
消去其二次项,就可以变为方程
.在一些数学工具书中,我们可以找到方程
的求根公式,这一公式被称为卡尔丹公式,它是以16世纪意大利数学家卡尔丹(J.Cardan)的名字命名的.
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程
可以变形为
,把未知数x写成两数之和
,再把等式
的右边展开,就得到
,即
.将上式与
相对照,得到
,把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方,
,并把
与
看成未知数,解得
,于是,方程
一个根可以写成
.
阅读以上材料,求解方程
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ae0f3c81f415857813838d4b9b714d56.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0bed1a02239821a616bc173181e7ed2.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f02c3aa1326c9b1e069b6997cd29bfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11792ad247341c0dbc80663dd0fa6f77.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ead1b77b69e6b51d6d483331fd01d41.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36accab23dbd172687769aea43e5781c.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b79aba80a3fc337b27ed567abf1e5c4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49d63387694fd1caafce80adfb43c86b.png)
阅读以上材料,求解方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93c3d494147195cf4f5e1fa3f6f5a0b9.png)
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8 . 解关于
,
的方程或方程组:
(1)
;
(2)
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0000cc9d5048df0667dc7714077b69cb.png)
(1)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e3092a7fa35b2f4f739502e4996af2e.png)
(2)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b33b049747e0aee1d481df8a7fb93f1.png)
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名校
9 .
,且
.
(1)方程
在
有且仅有一个解,求
的取值范围.
(2)设
,对
,总
,使
成立,求
的范围.
(3)若
与
的图象关于
对称,求不等式
的解集.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/221d133bc38df7ae4bf1717cb3ca12d4.png)
(1)方程
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8284604d4499d6ee65dbefed20c7800f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
(2)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/95e21dc6fe0ae3b5c607b274227b547e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a58a804ac94af91bb076b7bf3184a24c.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a813b5adbf5c7082561237894ba6d599.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b28dd80f024a2ad50d7d5838a1cd80c5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7eb89f9fa268fc91676108a58c29e114.png)
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2023-05-21更新
|
1195次组卷
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6卷引用:第七章 三角函数(压轴题专练)-单元速记·巧练(沪教版2020必修第二册)
(已下线)第七章 三角函数(压轴题专练)-单元速记·巧练(沪教版2020必修第二册)(已下线)模块四 专题2 重组综合练(江西)(北师版高一期中)辽宁省沈阳市第十一中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题(已下线)专题5.9 三角函数全章八类必考压轴题-举一反三系列(已下线)专题5.4 三角函数的图象与性质-举一反三系列江西省吉安市双校联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
10 . 购房分期付款模型是这样的:设贷款
元,年利率为
,按复利计算,并从借款后次年年初开始每次等额归还,第
年后全部还清(也可以按月等额归还).那么第
年后剩余款额
.由
,解得
.请你仔细阅读上述模型,再给出一个运用该模型的应用题.
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