1 . 写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．

2 . 在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多．如图1所示，为了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进t米到达点E后（米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到AB的高．但是，在这种测量方法中，要保证C，E，B在一条直线上，而且AB要与BC垂直（实际生活中直线BC不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使C，E，B三点不共线，测得．．，，，米，如图2．

(1)若C，E，B三点共线，且，试写出图1中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（用，，t，a表示）；
(2)当C，E，B三点不共线且并不确定平面CBE是否为水平面时，试写出图2中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，t表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）．

3 . 正四棱锥的展开图如图所示，侧棱长为1，记，其表面积记为，体积记为.

(1)求的解析式，并直接写出的取值范围；
(2)求，并将其化简为的形式，其中为常数；
(3)试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）

4 . 知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．

根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1)的值为（       ）
A．                    B．                    C．             D．
(2)对于，的正对值的取值范围是______．
(3)已知，其中为锐角，试求的值．

5 . 南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．

(1)求；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．

6 . 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩）

(1)求需要建造的桥墩的个数；
(2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.