1 . 已知点O（0，0）、A₀（2，3）和B₀（5，6），记线段A₀B₀的中点为P₁，取线段A₀P₁和P₁B₀中的一条，记其端点为A₁、B₁，使之满足（|OA₁|﹣5）（|OB₁|﹣5）＜0，记线段A₁B₁的中点为P₂，取线段A₁P₂和P₂B₁中的一条，记其端点为A₂、B₂，使之满足（|OA₂|﹣5）（|OB₂|﹣5）＜0，依次下去，得到点P₁、P₂、…，P_n、…，则|A₀P_n|＝__．

2 . 记为等比数列的前项和，已知，．则=____________；数列的前项和_____________．

3 . 已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______．

4 . 已知正项数列的前n项和为，且是4和的等比中项，数列，其前n项的和为，则__________，__________.

5 . 已知，，…，，，，…，（是正整数），令，，…，.某人用下图分析得到恒等式：

，这个恒等式称为分部求和公式，也称阿贝尔变换.（注：阿贝尔（1802年8月5日—1829年4月6日））（挪威数学家）则______（）.

6 . 对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则______；______.

7 . 等差数列与的前项和分别为和，且，则________

8 . 在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.

9 . 数列其中在第个1与第个1之间插入个，若该数列的前2020项的和为7891，则________.

10 . 已知数列中，，，，若对任意的正整数及，不等式总成立，则实数的取值范围为______.