1 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.

2 . 已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质.
(1)若，，，，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若，，且，求的值并说明理由；
(3)若，，，，试证：是满足性质的必要条件.

3 . 三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)求所有的二次函数（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
(3)若，且存在实数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.

4 . 设函数.
(1)当时，若直线是曲线的切线，求的值；
(2)若函数在区间上严格增，求的取值范围；
(3)若且满足，对任意的，恒有，求证：对任意的，当时，.