1 . 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减
（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论

2 . 已知函数，.
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当时，判断函数的奇偶性并证明；
(3)给定实数且，试判断是否存在直线，使得函数的图象关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数

(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．

4 . 对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称．
(1)已知，求函数的“拐点”的坐标；
(2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称；
(3)对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．

5 . “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．函数的图象关于点对称，且当时，．
(1)求的值；
(2)设函数．
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

6 . 已知的定义域为，且，且.
(1)证明是偶函数；
(2)求.

7 . 已知函数．
(1)证明：若，则．
(2)求的值．

8 . 已知函数．
(1)若，求证：函数的图象关于点中心对称；
(2)若，且关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

9 . 已知，

(1)证明：关于对称；
(2)若的最小值为3

（i）求；

（ii）不等式恒成立，求的取值范围

10 . 根据人教2019版必修一P87页的13题介绍： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
题：设函数，且， (其中是常数)， 函数．
(1)求的值，   并证明是中心对称函数;
(2)是否存在点，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．