1 . 已知函数．
（1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；
（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；
（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．

2 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数是“类周期函数”.
(1)判断函数，是否是“类周期函数”，并证明你的结论；
(2)求证：若函数是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；
(3)求证：当时，函数一定是“类周期函数”.

3 . 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.
（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；
（2）对于整数，当时，求函数的解析式；
（3）对于整数，记在有两个不等的实数根}，求集合.

4 . 已知定义在上的函数满足以下三个条件：
①对任意实数，都有；
②；
③在区间上为增函数．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求证：；
（3）解不等式．

5 . 给出集合
(1)若求证:函数
(2)由(1)可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：
命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；
(3)设为常数,且求的充要条件并给出证明.

6 . 已知集合，.
（1）求证：；
（2）是周期函数，据此猜想中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）是奇函数，据此猜想中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.

7 . 先解答（1）（2），再通过结果类比解答（3）.
（1）求证：；
（2）写出函数的最小正周期；
（3）定义在上的函数满足（其中为非零常数），试猜想是否为周期函数，并证明你的结论.

8 . 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时.
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)求的值.

9 . 已知定义在上的函数满足：.
(1)求证：是周期函数，并求出其周期；
(2)若，，求的值.

10 . 定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数.
(1)判断是否为的相关函数，并说明理由；
(2)若为的相关函数，证明：为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.