名校
1 . 已知函数
，
为函数
的反函数
(1)讨论
在
上的单调性，并用定义证明；
(2)设
，求证：
有且仅有一个零点
，且
.
，为函数的反函数(1)讨论
在上的单调性，并用定义证明；(2)设
，求证：有且仅有一个零点，且.
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名校
2 . 已知函数
，函数
是函数
的反函数.
求函数
的解析式，并写出定义域
；
设
，判断并证明函数
在区间
上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证:函数在区间
内必有唯一的零点(假设为
)，且
.
，函数是函数的反函数.求函数的解析式，并写出定义域；设，判断并证明函数在区间上的单调性:若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为)，且.
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解题方法
3 . 已知函数
，函数与互为反函数.
(1)若函数
的值域为
，求实数
的取值范围；
(2)求证：函数
仅有1个零点，且
.
，函数与互为反函数.(1)若函数
的值域为，求实数的取值范围；(2)求证：函数
仅有1个零点，且.
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2024-03-01更新
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275次组卷
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2卷引用：湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
名校
4 . 三角函数的定义是：在单位圆C：
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为
，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积
．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：
中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是
，双曲角
，则P的坐标是
．其中，
称为双曲余弦函数，
称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数
双曲余切函数
且有如下关系式：
，
,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；
②
；
（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；
②若对
，关于x的方程
有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为
，写出
的级数展开式．
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，
,的初等函数表达式．（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；②
；（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；②若对
，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为，写出的级数展开式．
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5 . 已知函数
.
(1)判断函数
的奇偶性并证明.
(2)求函数的值域.
(3)求函数的反函数
的解析式
.(1)判断函数
的奇偶性并证明.(2)求函数
的值域.(3)求函数
的反函数的解析式
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2023高一上·上海·专题练习
解题方法
6 . 设点
即在函数
的图象上，又在它的反函数的图像上.
(1)求
(2)证明在其定义域上是减函数
即在函数的图象上，又在它的反函数的图像上.(1)求
(2)证明
在其定义域上是减函数
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解题方法
7 . 已知函数
其中
且
.
(1)求的单调区间；
(2)判断并证明的奇偶性；
(3)求函数的反函数；
(4)求使
的
取值范围.
其中且.(1)求
的单调区间；(2)判断并证明
的奇偶性；(3)求函数
的反函数；(4)求使
的取值范围.
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解题方法
8 . 设
，已知函数
.
(1)当
时，用定义证明是
上的严格增函数；
(2)若定义在
上的奇函数满足当
时，
，求
在区间
上的反函数；
(3)对于（2）中的，若关于的不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围.
，已知函数.(1)当
时，用定义证明是上的严格增函数；(2)若定义在
上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数；(3)对于（2）中的
，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
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2023-12-06更新
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136次组卷
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6卷引用：上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题江苏省南京市第二十九中学2022-2023学年高一下学期2月期初考试数学试题江西省遂川中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（已下线）5.4 反函数-数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）（已下线）单元高难问题03函数恒成立问题和存在性问题-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）（已下线）专题16反函数-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）
9 . 给定实数
，
且．设函数
（
且
）．证明:这个函数的图像关于直线
成轴对称图形．
，且．设函数（且）．证明:这个函数的图像关于直线成轴对称图形．
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名校
解题方法
10 . 已知函数是函数
（且）的反函数，且
．
(1)求函数的解析式；
(2)设
．
（i）写出函数的单调区间，并指明单调性；（无需证明）
（ⅱ）求在区间
（其中
且
）上的最小值
和最大值
．
是函数（且）的反函数，且．(1)求函数
的解析式；(2)设
．（i）写出函数
的单调区间，并指明单调性；（无需证明）（ⅱ）求
在区间（其中且）上的最小值和最大值．
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