1 . 如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路．点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为（），且，点P到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（）时，其造价为万元．已知，，km，．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小．
(2)对于（1）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
(3)在AB上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价？证明你的结论．
(4)你能将上述模型进行推广，解决其他的实际问题吗？

2 . 如图，有三个新兴城镇分别位于A，B，C处，且，（）．今计划在BC的垂直平分线上建一个中心医院P，方便三镇居民就医，试在下列条件下求P的位置：

(1)P到三镇距离平方和最小；
(2)P到三镇距离之和最小；
(3)P到三镇的最远距离最小．

3 . 定义，已知，，，函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数的图象与轴的正半轴有两个不同交点，，且这两个交点的横坐标分别为，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求实数的取值范围.

4 . 若函数在定义域内的图像上的所有点均在直线的下方，则称函数为定义域内的“下界函数”.若函数为定义域内的“下界函数”，则的最大值减去的最小值等于（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

5 . 某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为，通过金属杆，，，支撑在地面处（垂直于水平面），，，是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面属杆，，所在直线与圆环所在水平面所成的角都为．（圆环及金属杆均不计粗细）

（1）当的正弦值为多少时，金属杆，，，的总长最短？
（2）为美观与安全，在圆环上设置，，…，个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆，，，…，的总长最短，对比（1）中点位置，此时点将会上移还是下移，请说明理由．

6 . 设集合，则下列说法中正确的有（       ）

A．集合S中没有最小的元素	B．集合S中最小的元素是1
C．集合S中最大的元素是	D．集合S中最大的元素是

7 . 随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.
（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；
（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.

8 . 对于函数，下列说法正确的是（       ）

A．在上单调递增，在上单调递减

B．若方程有个不等的实根，则

C．当时，

D．设，若对，，使得成立，则

9 . 如图，某小区有一空地，要规划设计成矩形，米，拟在和两个区域内各自内接一个正方形和正方形用作喷泉水池，并且这两个正方形恰好关于线段的中点成中心对称，为了美观，矩形区域除了喷泉水池其余都种植鲜花．设表示矩形的面积，表示两个喷泉水池的面积之和，，现将比值称为“规划指数”，请解决以下问题：

（1）试用表示和；
（2）当变化时，求“规划指数”取得最小值时角的大小．