名校
解题方法
1 . 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)数列的前项和为,且;
(ⅰ)求;
(ⅱ)求证:.
(1)当时,证明:;
(2)数列的前项和为,且;
(ⅰ)求;
(ⅱ)求证:.
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2023-04-16更新
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482次组卷
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3卷引用:黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高二下学期第一次验收考试数学试题
2023·上海嘉定·一模
2 . 已知,
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数为自然对数的底);
(2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明);
(3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件的唯一一组值.
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数为自然对数的底);
(2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明);
(3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件的唯一一组值.
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2022-12-15更新
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803次组卷
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4卷引用:核心考点09导数的应用(1)
3 . 设直线,曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件:①直线与曲线相切且至少有两个切点;②对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”.
(1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”;
(2)观察下图:根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
(1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”;
(2)观察下图:根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
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解题方法
4 . 利用曲线的切线进行放缩:设上任意一点的横坐标为,则过该点的切线方程为,即,由此可得与有关的不等式,其中,等号当且仅当时成立;设上任意一点的横坐标为,则过该点的切线方程为,即,由此可得与有关的不等式:,其中,等号当且仅当时成立,设是在点处的切线
(1)求的解析式
(2)求证:
(3)设,若对恒成立,求的取值范围.
(1)求的解析式
(2)求证:
(3)设,若对恒成立,求的取值范围.
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名校
解题方法
5 . 已知函数和的定义域分别是A和B,若函数和同时满足下列两个条件:
①对任意的,都有或对任意的,都有;
②存在,使得.
则称和互为“依偎函数”,记作,其中,叫做“依偎点”.
(1)是否存在有无数个“依偎点”?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由;
(2)若函数,,是否存在k,使得如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:,其中.
①对任意的,都有或对任意的,都有;
②存在,使得.
则称和互为“依偎函数”,记作,其中,叫做“依偎点”.
(1)是否存在有无数个“依偎点”?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由;
(2)若函数,,是否存在k,使得如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:,其中.
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2024-04-23更新
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291次组卷
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2卷引用:江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
解题方法
6 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一,在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为:设函数,满足①图象在上是一条连续不断的曲线;②在内可导;③对,.则,使得.特别的,取,则有:,使得,此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足,其导函数在上单调递增,判断函数在的单调性并证明;
(2)若且,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,求证:.
(1)设函数满足,其导函数在上单调递增,判断函数在的单调性并证明;
(2)若且,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,求证:.
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7 . 为方便起见,记一年有365天,并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的. “生日悖论”指:在不少于23个人的群体中,至少有两人生日相同的概率大于50%. 记事件为“前k人中没有人生日相同”,其中.
(1)证明:;
(2)直接写出的值,并证明:如果一个班上有不少于23人,则这个班上至少有两人生日相同的概率大于.
附:,.
(1)证明:;
(2)直接写出的值,并证明:如果一个班上有不少于23人,则这个班上至少有两人生日相同的概率大于.
附:,.
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名校
解题方法
8 . 设函数在区间上可导,为函数的导函数.若是上的减函数,则称为上的“上凸函数”;反之,若为上的“上凸函数”,则是上的减函数.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”,并说明理由;
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”,求的取值范围;
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”,为曲线上的任意一点,求证:除点外,曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”,并说明理由;
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”,求的取值范围;
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”,为曲线上的任意一点,求证:除点外,曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
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解题方法
9 . 我们知道,利用导数证明基本不等式:
(1);
(2).
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10 . 定义:若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C:,在直角坐标系中作出曲线C的图象,并判断C是否存在“自公切线”?(给出结论即可,不必说明理由)(2)证明:当时,函数不存在“自公切线”;
(3)证明:当,时,.
(1)设曲线C:,在直角坐标系中作出曲线C的图象,并判断C是否存在“自公切线”?(给出结论即可,不必说明理由)(2)证明:当时,函数不存在“自公切线”;
(3)证明:当,时,.
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7日内更新
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259次组卷
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2卷引用:山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题