1 . 如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .

2 . 如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且.①若，则的值是___________；②以点为坐标原点，向量所在轴为轴建立平面直角坐标系，若向量，则最大值时点坐标为___________.

3 . 边长为的正三角形中，为的中点，在线段上且，则______________．

4 . 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．

5 . 如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.

6 . 已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为，则的值为______．

7 . 在中，，，若（，均大于0），则的值为______.

8 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则________________；若点P是线段上的动点（包括端点），则的最小值是________________．

9 . 在平行四边形ABCD中，点E满足，连接AE并延长交BC的延长线于点F，，若数列是等差数列，其前n项和为，则______．

10 . 在中，，，与交于点，若，则的值为__________.