1 . 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD.求证：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA².

2 . 如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点.
   
(1)求的最大值；
(2)求证：为定值；
(3)对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值.

3 . 如图，的外接圆半径是1，且.

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)过分别做的垂线，垂足依次是的值.

4 . 在中，化简“______”，并利用该等式证明余弦定理和正弦定理．

5 . 已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和．
(1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示）
(2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且.

6 . 如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.

   

(1)用和表示；
(2)设，求的值；
(3)设，证明：.

7 . 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

(1)若，试用，和实数表示；
(2)试用，表示；
(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.

8 . 用向量运算刻画三角形的重心．
(1)已知，求一点G满足．
(2)求证：满足条件的点G是的重心．
（提示：说明点G同时在的三条中线上．）

9 . （1）如图，O为的外心，H为内一点，且．求证：H是的垂心，（提示：．）

（2）若H为所在平面内任一点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？

10 . 我们知道，对一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同则可以构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学思想.例如：如图甲，在中，D为的中点，则，两式相加得，因为D为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：

（1）如图乙，在四边形中，E，F分别为的中点，证明： .
（2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边上，且，，，，与的夹角为，求.