1 . （1）若，求；
（2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．

2 . 已知向量，，其中．
(1)若，写出，，，之间应满足的关系式
(2)求证：；
(3)求代数式的最大值，并求其取得最大值时的值．

3 . （1）如图，平行四边形中，对角线与交于点，为平面内任意一点. 求证：

（ⅰ）；
（ⅱ）；
（2）矩形中，为平面内任意一点.求证：；
（3）在平面上，，，.若，求的取值范围.

4 . 如图，是坐标原点，，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限；

(1)证明：；
（提示：设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和）
(2)求的范围．

5 . 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连结，，设为中点．

(1)若（），则__________；
(2)求；
(3)求证：．

6 . 已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、.
(1)若到和到直线的距离相等，求的值；
(2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）；
(3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围.

7 . 在正方形ABCD中，点E在线段BC上并且，点F在线段CD上并且.

(1)证明：AE⊥BF
(2)若AE与BF相交于点G，求的值.

8 . 点Q在半径为1的圆P上运动的同时，点P在半径为2的圆O上运动，O为定点，P､Q两点的初始位置（如图1所示），其中，且两点均以逆时针方向运动，当点P转过角度α时，Q转过的角度为2α（如图2所示），其中且，G为的重心，

(1)求证：为定值；
(2)把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围.

9 . 已知，，动点C满足．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)若点C是圆上位于x轴上方的动点，直线AC，BC与直线分别交于M，N两点，直线m与x轴交于Q点，求证：是定值．

10 . 已知复平面内点，，分别对应复数，，，其中，，，，是原点．
（1）求证：；
（2）求四边形面积的最大值．