1 . 设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．
(1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；
(3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．

2 . 已知为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列．
(1)当时，求的值；
(2)求证：存在正整数，使得；
(3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由．

3 . 已知数列的首项为1，对任意的，定义.
(1)若，求；
(2)若，且.
（i）当时，求数列的前项的和；
（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

4 . 已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和的公式．

5 . 已知函数．
(1)若的反函数是，解方程：；
(2)当时，定义，设，数列的前n项和为，求、、、和；
(3)对于任意、、，且，当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值．

6 . 设，数列满足，数列的通项公式为.
(1)已知，求k的值；
(2)若，设，求数列最大项及相应的序数；
(3)若，设，求数列的前n项和.

7 . 已知数列满足，.
(1)若是等差数列，求数列的通项公式；
(2)若是等比数列，且数列满足，求证：是等比数列.

8 . 已知数列与满足．
(1)若，且，求数列的通项公式；
(2)设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；
(3)设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围．

10 . 在等差数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，证明：数列为等比数列，并求其前项和．