1 . 已知数列的前项和为，且．
(1)探究数列的单调性；
(2)证明：．

2 . 在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．

3 . 已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设，，求的最大值

4 . 已知函数，.
(1)求函数的单调区间，并探究数列中1，，，，，的最大项；
(2)设，若，求证：.

5 . 在数列中，，，数列的前项和为，且．
（1）证明：数列是等差数列．
（2）若对恒成立，求的取值范围．

6 . （1）已知数列满足，其中，.
（i）求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
（ii）由（1）写出数列的前项和，并用数学归纳法证明.
（2）已知数列的前项和为，且满足，.
（i）猜想的表达式，并用数学归纳法证明；
（ii）设，，求的最大值.

7 . 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.
（1） 求数列，的通项公式；
（2） 记,求证：.