1 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.

2 . 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．

4 . 已知正项数列，满足（其中）.
(1)若，且，证明：数列和均为等比数列；
(2)若，以为三角形三边长构造序列（其中），记外接圆的面积为，证明：；
(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列.

5 . 已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.

7 . 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.