1 . 已知数列的前项和为，．
(1)求的值；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．

2 . 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为．

(1)求，，；
(2)写出与的关系，并求出．
(3)求证：

5 . 已知满足，且.
(1)求；
(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.

6 . 已知数列的前项和为，且，，．
(1)求证数列为等差数列，并求通项；
(2)设，求数列的前项和．

7 . 设，其中n为正整数．
(1)求，，的值；
(2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．

8 . 已知函数，设数列的通项公式为，其中.
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.

9 . 已知数列中，，且满足．
(1)求的值；
(2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．

10 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)令，是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.