1 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

2 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列，且，，求数列和集合T；
(2)若是递增的等差数列，求证：；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由

3 . 已知数列满足：，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.

4 . 已知在非零数列中，，数列的前项和．
(1)证明：数列为等差数列．
(2)求数列的通项公式．
(3)若数列满足，求数列的前项和．

5 . 已知数列的前项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若表示不超过的最大整数，，求实数的取值范围.

6 . 已知等差数列的前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，记数列的前项和为，
证明：．

7 . 定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．

8 . 已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列满足，求数列的前项和.

9 . 等差数列中，，的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对任意正数k，均存在使得成立．

10 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列满足.求数列的通项公式.