1 . 现有n枚硬币．对于每个，硬币是有偏向的，即向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．
(1)将这3枚硬币抛起，设落下时正面朝上的硬币个数为，求的分布列及数学期望;
(2)将这n枚硬币抛起，求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率．

2 . 已知正整数列3，9，…，2187，…，试写出三个数列的通项公式，每个通项公式都需符合给出的三项值．

3 . 到需要50车石料，石料厂为到的距离为1000米，一辆车依次把石料从运送到施工路段，第一车石料卸在处，然后每50米卸一车石料，分别在的位置，运送1车石料该车往返的路程记为米，第50车往返的路程记为米.

(1)该车运送第20车石料往返的路程.
(2)求该车所有往返路程之和.

4 . 已知数列满足以下三个条件，从中任选一个.
条件①：为数列的前项和，，且；
条件②：数列是首项为1的等比数列，且成等差数列；数列的各项均为正数，为其前项和，且，数列满足；
条件③：数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.

5 . 一个等差数列的首项是8，公差是3，另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是原等差数列的第几项？求出由公共项组成的数列的通项公式及前100项的和．

6 . 在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足.
(1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；
(2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项.

7 . 记为数列的前项和，已知，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)若是等差数列，且，，求集合中元素的个数.

8 . 为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.

9 . 记数列的前项和为，集合，若对任意，恒有，则称具有性质.
（1）若的前项和为，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）若为等差数列，首项，公差，且具有性质，求的值.

10 . 已知数列满足，数列的前项和为，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①；
②数列满足：，，且的前项和为；
③．
问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．