1 . 已知等差数列满足，设是数列的前项和，记．
(1)求；
(2)比较与的大小；
(3)如果函数对一切大于1的正整数，其函数值都小于零，那么应满足什么条件？

2 . 现有n枚硬币．对于每个，硬币是有偏向的，即向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．
(1)将这3枚硬币抛起，设落下时正面朝上的硬币个数为，求的分布列及数学期望;
(2)将这n枚硬币抛起，求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率．

3 . 在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足.
(1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；
(2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项.

4 . 正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．
①，；
②为等差数列；
③为等差数列，试完成下面两个问题：
(1)求的通项公式；
(2)求证：．

5 . 为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.

6 . 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，）

7 . 已知数列满足，数列的前项和为，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①；
②数列满足：，，且的前项和为；
③．
问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．