2 . 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，．

3 . 数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，，求q的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．

4 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．
(1)若，写出，及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，，求证：且．

5 . 数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．

6 . 已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.

7 . 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：．

8 . 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为
(1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；
(2)设既等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．

9 . 已知各项均为正数的数列为等差数列，各项均为正数的数列为等比数列，成等比数列.成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，求证：.