1 . 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)设顶点到直线MN的最大距离为d，证明.

2 . 已知数列.
(1)证明：是等比数列；
(2)已知数列.
①求的最大值；
②对任意的正整数，证明：.

4 . 已知数列满足，则的前项和__________.

5 . 定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.

6 . 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则（       ）

A．	B．为等比数列
C．为递减数列	D．中存在小于的项

7 . 若锐角满足，数列的前项和为，则使得成立的的最大值为（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

8 . 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

性别	就餐区域		合计
	南区	北区
男
女
合计

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为.

	0.100	0.050	0.025	0.010
	2.706	3.841	5.024	6.635

（i）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ii）求第天他去甲餐厅用餐的概率.
附：；

9 . 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值.

10 . 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为.
(1)若，求；
(2)若，求正整数的最小值；
(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由.