1 . 正项数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.

3 . 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．

4 . 定义：是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列的间隔数
（1）若，是不是近似递增数列，并说明理由
（2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围：
（3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.

5 . 已知数列的各项均为整数，其前n项和为．规定：若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列为“r关联数列”．
（1）若数列为“6关联数列”，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；
（3）若数列为“6关联数列”，当时,在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列中是否存在三项，，其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

6 . 已知数列满足：，，.
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和.

7 . 若是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”.
（1）设，证明：数列是的分隔数列；
（2）设是的前n项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；
（3）设是的前n项和，若数列是的分隔数列，求实数的取值范围．

8 . 函数满足，当x，时，恒成立，又满足：，，设．
（1）证明：数列是等比数列，并求的表达式：
（2）是否存在正整数m，使得对任意，都有成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

9 . 从数列中取出部分项组成的数列称为数列的“子数列”.
（1）若等差数列的公差，其子数列恰为等比数列，其中，，，求；
（2）若，，判断数列是否为的“子数列”，并证明你的结论.

10 . 抛物线的准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）若线段的垂直平分线交轴于，求证：；
（3）若直线的斜率依次为，，，…，，…，线段的垂直平分线与轴的交点依次为，，，…，，…，求.