1 . 已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,最小值记为,令 ,并将数列称为的“生成数列”.
(1)若,求数列的前项和;
(2)设数列的“生成数列”为,求证:;
(3)若是等比数列,证明:存在正整数,当时, 是等比数列.
(1)若,求数列的前项和;
(2)设数列的“生成数列”为,求证:;
(3)若是等比数列,证明:存在正整数,当时, 是等比数列.
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解题方法
2 . 数列的前n项和记为,已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的和.
(3)若,则为__________(等差/等比)数列,并证明你的结论.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的和.
(3)若,则为__________(等差/等比)数列,并证明你的结论.
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3 . 对于数列,若存在正数k,使得对任意,,都满足,则称数列符合“条件”.
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”?
(2)若首项为1,公比为q的正项等比数列符合“条件”.
①求q的取值范围;
②记数列的前n项和为,证明:存在正数,使得数列符合“条件”
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”?
(2)若首项为1,公比为q的正项等比数列符合“条件”.
①求q的取值范围;
②记数列的前n项和为,证明:存在正数,使得数列符合“条件”
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解题方法
4 . 已知为有穷正整数数列,且,集合.若存在,使得,则称为可表数,称集合为可表集.
(1)若,判定31,1024是否为可表数,并说明理由;
(2)若,证明:;
(3)设,若,求的最小值.
(1)若,判定31,1024是否为可表数,并说明理由;
(2)若,证明:;
(3)设,若,求的最小值.
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2024-01-20更新
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1391次组卷
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6卷引用:北京市昌平区2024届高三上学期期末质量抽测数学试题
5 . 设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.
(1)若数列,,判断和是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
(1)若数列,,判断和是否是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
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2023-12-25更新
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730次组卷
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4卷引用:北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2024届高三上学期12月练习数学试题
名校
解题方法
6 . 已知无穷等比数列的各项均为整数,其前项和为.
(1)求的通项公式;
(2)证明:对这三个数成等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)证明:对这三个数成等差数列.
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2023-11-02更新
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572次组卷
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2卷引用:北京市海淀区2024届高三上学期期中练习数学试题
7 . 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列,记,,定义.
(1)若,写出的值;
(2)若,求;
(3)设求证:对任意的无穷数列,存在数列,使得为常数列.
(1)若,写出的值;
(2)若,求;
(3)设求证:对任意的无穷数列,存在数列,使得为常数列.
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2023-11-02更新
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478次组卷
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3卷引用:北京市海淀区2024届高三上学期期中练习数学试题
名校
解题方法
8 . 设集合,其中.若集合满足对于任意的两个非空集合,都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等,则称集合具有性质.
(1)判断集合是否具有性质,并说明理由;
(2)若集合具有性质,求证:;
(3)若集合具有性质,求的最大值.
(1)判断集合是否具有性质,并说明理由;
(2)若集合具有性质,求证:;
(3)若集合具有性质,求的最大值.
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9 . 设数列{}的前项和为,且满足.
(1)求证数列{}是等比数列;
(2)数列满足,且.
(i)求数列的通项公式;
(ii)若不等式对恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)求证数列{}是等比数列;
(2)数列满足,且.
(i)求数列的通项公式;
(ii)若不等式对恒成立,求实数λ的取值范围.
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10 . 设是正整数,如果存在非负整数使得,则称是好数,否则称是坏数.例如:,所以2是好数.
(1)分别判断是否为好数;
(2)若是偶数且是好数,求证:是好数,且是好数;
(3)求最少的坏数.
(1)分别判断是否为好数;
(2)若是偶数且是好数,求证:是好数,且是好数;
(3)求最少的坏数.
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