1 . 在正项数列中，，．
(1)求；
(2)证明：．

2 . 已知数列的前项和为，，．
(1)请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求；
(2)令，求数列的前项和，并证明．

3 . 已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．

4 . 已知数列中，，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，为数列的前项和，证明：.

5 . 已知数列中，，为数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：．

6 . 记为数列的前项和，已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，记，求数列的前项和．

7 . 已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．

8 . 已知数列满足．
(1)设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．

9 . 在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知正项数列的前n项和为，且______，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．

10 . 已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为．
(1)求和，并求时的表达式；
(2)令，数列的前项和为，求证：．