1 . 设数列满足，，当.
（1）计算，，猜想的通项公式，并加以证明.
（2）求证：.

2 . 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为的前项和，求证：.

3 . 数列的前项和满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，证明：．

4 . 若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．

5 . 已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，且；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，证明：.
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

6 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.

7 . 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.

8 . 正项的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，求证．

9 . 已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：的前项和.

10 . 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.